Kurzzusammenfassung
In dem Buch "Analytische Methoden und die Black-Scholes-Modelle" habe ich mich mit stochastischen Volatilitätsmodellen und der Preisbestimmung von europäischen Derivaten in diesen Modellen beschäftigt.
Im ersten Kapitel habe ich die notwendigen stochastischen Grundlagen, die zum Verständnis der Finanzmathematik benötigt werden, ausführlich hergeleitet. So konstruiere ich beispielsweise das Itô-Integral, welches elementar im Umgang mit stochastischen Differentialgleichungen ist. Das erste Kapitel endet mit dem Beweis der mehrdimensionalen Itô-Formel, so dass eine Differentiation Funktionen stochastischer Prozesse möglich wird.
Im zweiten Kapitel definiere ich grundlegende finanzmathematische Begriffe und erläutere diese anhand des gewöhnlichen Black-Scholes-Modells. Dann führe ich die in der Finanzmathematik elementare risikolose Preisbestimmung mittels äquivalenter Martingalmaße ein und zeige zum besseren Verständnis die Vorgehensweise anhand des gewöhnlichen Black-Scholes-Modells. Nachdem ich zwischenzeitlich das implizierte Volatilitätsmodell eingeführt und die Existenz und Eindeutigkeit einer Preisfunktion in diesem Modell gezeigt habe, gehe ich anschließend auf stochastische Volatilitätsmodelle ein und übertrage die zuvor angesprochenen Ideen auf diese Modelltypen. Das zweite Kapitel endet mit der Formulierung eines Cauchy-Anfangswertproblems, welches äquivalent zur Bestimmung der Preisfunktion in diesem Modell ist
Im dritten Kapitel zeige ich mittels der Galerkin-Methode und der Theorie über abstrakte Halbgruppen die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für ein allgemeines Cauchy-Anfangswertproblem im L^2(R^2).
Im vierten Kapitel zeige ich, dass die Lösung des Cauchy-Anfangswertproblems unter bestimmten Voraussetzungen an die Koeffizienten des Differentialoperators sogar analytisch (bezüglich des Raumes und der Zeit) sind.
Im fünften Kapitel löse ich das Problem, dass die Anfangsdaten für praktische Aufgabenstellungen nicht in L^2(R^2) sind, indem ich das Problem in einem gewichteten L^2(R^2) betrachte.
Im abschließenden sechsten Kapitel führe ich numerische Simulationen zur praktischen Lösung des Problems durch. Dabei betrachte ich sowohl Lösungsmethoden für das Cauchy-Anfangswertproblem, speziell die Finite-Differenzen Methode und die Galerkin-Methode, als auch Lösungsmethoden zur stochastischen Simulation, speziell Monte-Carlo-Simulationen.